斐波那契数列 矩阵求法 优化解析

访客 阅读:427 2020-10-19 15:34:58 评论:0

  在做编程题目的时候经常会遇到“斐波那契数列”相关的题目,尤其在做OJ中。下面说一些方法:

  (一)递归

  递归是最慢的会发生重复计算,时间复杂度成指数级。

long long fac(int n) 
{ 
  if(n==1)   return 1; 
  else if(n==2)   return 2; 
  else    return fac(n-1)+fac(n-2); 
}

  (二)循环

  利用临时变量来保存中间的计算过程,加快运算。

long long fac(int n) 
{ 
    long long a=1,b=2,c; 
    if(n==1)    return 1; 
    else if(n==2)   return 2; 
    else 
    { 
        for(int i=3;i<=n;i++) 
        { 
            c=a+b;   a=b;   b=c; 
        } 
    } 
    return b; 
}

  (三)矩阵乘法+空间换时间(减少乘法,取模运算)

   数列的递推公式为:f(1)=1,f(2)=2,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

   用矩阵表示为:

  进一步,可以得出直接推导公式:

   由于矩阵乘法满足结合律,在程序中可以事先给定矩阵的64,32,16,8,4,2,1次方,加快程序的执行时间。(有些题目需要取模运算,也可以事先进行一下)。给定的矩阵次幂,与二进制有关是因为,如下的公式存在解满足Xi={01}: 

 

为了保证解满足 Xi={0或1},对上述公式的求解从右向左,即求解顺序为Xn,Xn-1,Xn-2,....,X1,X0。

  完整代码实现如下:

///求解fac(n)%100000,其中n为大于等于3的正整数 
#include<stdio.h> 
#include<math.h> 
long long fac_tmp[6][4]={   ///存放矩阵次幂 
                    ///位置:00 01 10 11 
                   {24578,78309,78309,46269},   ///32次幂%100000 
                   {1597,987,987,610},  ///16次幂%100000 
                   {34,21,21,13},   ///8次幂%100000 
                   {5,3,3,2},   ///4次幂%100000 
                   {2,1,1,1},   ///2次幂%100000 
                   {1,1,1,0},   ///1次幂%100000 
                   }; 
void fac(int); 
 
int main() 
{ 
    int n; 
    scanf("%d",&n); 
    fac(n); 
    return 1; 
} 
 
void fac(int k) ///k>=3 
{ 
    int i; 
    long long t00=1,t01=1,t10=1,t11=0;  ///表示矩阵的1次幂 
    long long a,b,c,d; 
    k=k-3;  ///公式中是n-2次幂,(t00,t01,t10,t11)表示1次幂。所以一共减3次 
    for(i=k;i>=32;i=i-32)   ///对于大于等于32的k; 
    { 
        a=(t00*fac_tmp[0][0]+t01*fac_tmp[0][2])%100000; 
        b=(t00*fac_tmp[0][1]+t01*fac_tmp[0][3])%100000; 
        c=(t10*fac_tmp[0][0]+t11*fac_tmp[0][2])%100000; 
        d=(t10*fac_tmp[0][1]+t11*fac_tmp[0][3])%100000; 
        t00=a;  t01=b;  t10=c;t11=d; 
    } 
 
    i=4; 
    while(i>=0)    ///对于小于32的k(16,8,4,2,1); 
    { 
        if(k>=(long long)pow(2,i))  ///如果k大于某一个2的次幂 
        { 
 
            a=(t00*fac_tmp[5-i][0]+t01*fac_tmp[5-i][2])%100000; ///(5-i):矩阵的2的i次幂在数组fac_tmp中的位置为fac_tmp[5-i] 
            b=(t00*fac_tmp[5-i][1]+t01*fac_tmp[5-i][3])%100000; 
            c=(t10*fac_tmp[5-i][0]+t11*fac_tmp[5-i][2])%100000; 
            d=(t10*fac_tmp[5-i][1]+t11*fac_tmp[5-i][3])%100000; 
            t00=a;  t01=b;  t10=c;t11=d; 
            k=k-(int)pow(2,i); 
        } 
        i--; 
    } 
 
    a=(t00*2+t01*1)%100000; 
    printf("%lld\n",a); 
}
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